纵扭复合型超声波电机的力传递模型

1 引言 复合型超声波电机力传递过程是一个非常重要的环节，它关系着电机能否最大效率的将定子机械振动能变成电机的输出力矩，并且保证电机有较长的寿命。因其力传递过程是断续的整个面接触，是一种很典型的接触方式，这也是大力矩产生的根本原因。这与连续局部接触的行波型超声电机不同，直径100mm行波型电机的力矩也可高达2N·m左右^[1]，但这种纵扭型电机的力矩至少可达10 N·m以上。文献[2-6]曾对复合型超声波电机的力传递问题进行了研究，归结主要有以下3点不足：① 采用常规的等效电路方式无法模拟断续接触问题；② 以往的工作，忽略复合型超声波电机摩擦力矩是在定转子接触面每秒钟2万次以上冲击和碰撞产生的事实，其研究结果难于真实地反映扭矩的转换过程；③ 研究结果中不能反映出复合型超声波电机大力矩输出对摩擦材料特性的要求，因为大力矩输出电机应该有相匹配的摩擦材料。 为此本文先简要地介绍纵扭复合型超声波电机的等效电路模型及其定转子负载模拟上存在的问题，随后运用一个振动周期内轴向冲量守恒的原理推导给出了定转子接触角关系式，运用一个振动周期内周向能量守恒的原理推导给出了电机输出力矩表达式。最后利用上述表达式，仿真分析了纵扭转振动振幅、定转子预压力、摩擦材料几何和物理参数等对电机输出力矩的影响，并应用上述理论设计转子和摩擦材料，用实验检证了这一模型的有效性和准确性。通过力传递模型的研究，可进一步形成纵扭复合型超声波电机的理论基础。2 纵扭复合型超声波电机的简化驱动模型 纵扭复合型超声波电机的简化驱动模型如图1所示，l_a、l_c、l_b和l_r分别为夹心定子上中下三端弹性体厚度和转子高度，l_l、l_t分别为纵、扭压电陶瓷晶片的厚度， P为通过碟簧作用在转子上的预压力，N为定转子间的正压力，W_s为扭转振子在定转子接触表面激励的振动角速度，_Ωr为转子旋转运动的角速度，M_T为定子表面质点交变的输出扭矩，t 为作用在转子上的驱动转矩。图1对应的集中参数的等效电路如图2所示，该等效电路中转矩因子A_T左边为电气部分，右边为机械部分。图中C₀ 和R₀分别为扭转压电陶瓷晶片的夹持电容和介电损耗，_Ωs代表定子等效的扭转振动角速度，L_m为定子扭转振动的等效转动惯量，C_m为定子扭转振动的等效柔度，R_m为等效机械阻尼参数。本来转子是一种惯性负载，其特性应由电感来表达，这里假定扭转振子驱动频率较高和转子惯性矩足够大，因而可将其简便地表示为恒流源_Ωr。在等效电路图中，加入了未知部分，通过它将定子表面交变的力矩与转子部分单向的驱动力矩联系在一起，这个未知部分就是将要详细讨论的力传递模型。

3 力传递模型3.1 问题的设定 电机稳态运行时，定子表面质点的椭圆振动轨迹如图3所示，运动顺序按A、B、C、D进行，图中Y轴表示定子表面质点纵振动位移，X轴表示定子表面质点的扭振动位移，轨迹用x和y的表示分别为

式中 x_t和y_m分别为定子表面质点扭振动和纵振动幅值。

电机稳态运行，定转子断续接触，在接触阶段，定子给予转子冲击，表现为定子表面振动，作用于转子摩擦材料上，其冲击的频率很高，为20kHz以上，根据冲击理论，冲击产生的形变基本上在接触面上，转子来不及响应，这时转子是不动的，这一点从实际研制的电机也能证明。另外，稳态时，由于摩擦材料为粘弹性材料，对于粘弹性材料，一般表现为：在冲出开始时不产生变形，冲击结束时回到原来位置，即在图3，a点表示定转子开始接触，b点接触终止点。开始接触点的轴向振动位移为y_a， φ_a和f_b分别表示定转子表面接触时的起始角和终止角，时间上分别对应为t_a和t_b，则定转子接触角为φ=φ_b-φ_a表示定转子从开始接触到脱离时持续的角度，反映每次振动中接触时间为T_c=φ/w。这时，φ_a与定转子接触角φ之间的关系为φ_a=(p -φ)/2，可得 转子轴向的受力情况如图4所示，图中P为预压力，N为转子上摩擦材料受到的冲击力，m为转子的质量，定子振动周期为T=2π/ω，冲击力N在一个振动周期内可表示为

式中 k_f为摩擦材料的等效刚度，k_f=E_fS/h_f。其中，E_f 、S、h_f分别为摩擦材料杨氏模量、接触截面积和摩擦材料厚度。

3.2 定转子接触角的确定 稳态时，转子轴向是不动的（这点在实验中已经得到证实），即转子轴向一个振动周期内动量变化量为零，转子一个振动周期内受到纵向（轴向）冲量为 转子上方的预压力仍用静态时定转子之间的预压力表示，正如上分析，稳态时，转子基本不动，即使有一定位移，其位移量级无法同其静变形相比，因定子振动是mm级的，而碟簧的预压紧量是mm级的，故可视为恒定，因此稳态时的预压力等于静态时的预压力。这样有将式(3)和(4)代入上式，并整理可得接触角与预压力和摩擦材料几何物理参数的关系式为 上式表明了定转子接触角φ与碟簧预压力、摩擦材料的弹性模量、接触面积、厚度以及纵振动幅值有关，如果给定这些参数，则可确定定转子的接触角φ。 当φ=2p时，定转子表面整个振动周期都接触，此时预压力为k_f y_m，当预压力大于k_f y_m，电机定转子不出现断续接触，而是始终接触，此值是连续接触和断续接触的临界点，故定义临界预压力为P_co=k_f y_m。为此修正式(4)有3.3 稳态输出力矩 从式(1)可知，定子表面质点的切向振动速度v，设v_T为扭转振动速度幅值，则有 同时，考虑到转子具有一定的转动惯量和接触时间较短，可假定稳态时转子的转速恒定不变，用v_m表示。图5为一个振动周期内转子转速与定子表面扭振的振动速度之间的关系曲线，可以看出：扭转振子的振动速度高于转子转速时，摩擦推力F_m作正功，为曲线cd段；当扭转振子的振动速度低于转子转速时，摩擦推力F_m作负功，为曲线ac和db段。摩擦推力F_m与定子表面质点与转子的相对速度有关，采用如图6所示的模型^[7-9]。可表示为式中μ_s为静摩擦系数；k₁为对应直线的斜率。

忽略转子上轴承结构等引起的摩擦力矩，电机一个振动周期内所产生的功应与负载相同，则电机的平均输出转矩为 (13)

式(13)把力矩分成两部分，一部分为正，一部分为负，M_TP和M_TN分别为驱动力矩和制动力矩，即图中的c点前和后，在c点有φ₁=arcsin(v_m/v_T)。 对式(11)考虑预压力为临界点前的情况，并代入式(13)，有

经整理得

式(16)和式(17)表明影响电机输出力矩的相关因素很多，包括摩擦材料弹性刚度、纵振动振幅、扭转振动的幅值和定转子接触角时间等。 利用上两式可得出电机的空载转速和堵转力矩。令M_T =0，可通过解上方程求转子的空载转速v₀，其中φ₁=arcsin(v₀/v_T)，代入式(16)、式(17)可确定空转转速。当v_m=0，φ₁=0，可得出转子的堵转力矩M_Tmax 在上式中，当r = F_co，即在临界点，φ=2p，代入上式可见，其堵转力矩与过压时的堵转力矩相同。且过压时的堵转力矩与预压力大小无关，是一常值，这时，提高预压力不能提高堵转力矩。4 仿真与实验分析4.1 概述 利用上述关系可分析电机定转子表面预压力和摩擦材料等参数对电机性能的影响，经过分析，确定实物样机和仿真参数如表1所示。从电机的定转子接触角、定子表面振动、摩擦材料和定转子预压力四个角度分析接触力传递问题。

4.2 定转子接触角 电机空载转速和电机堵转力矩与接触角之间的关系如图7所示，图中表明电机空载转速随着接触角的增大而减小，电机的堵转力矩随着接触角的增大而增大。

4.3 定子表面纵扭振动的影响 接触角的大小依赖于纵振动振幅，其关系如图8所示，表明随着纵振动的增强，施加的最大预压力也可增大。这时电机的机械特性如图9所示，表明随着纵振动的振幅的增强，电机输出的力矩也增大，因扭振动振幅不变，其空转转速是恒定的。而扭振动对电机的机械特性的影响如图10所示（其中A_T=wv_T，反映扭振幅大小），扭振动振幅与扭振子电压线性相关，图中表明定子表面质点扭振动振幅的增大，不但可以提高电机的输出力矩，而且可以提高电机的转速。

4.4 预压力和摩擦材料的影响 摩擦材料厚度影响摩擦材料层的刚度，材料厚时其刚度低，小的预压力就使接触角接近邻界点，这样难于加大预压力，预压力与接触角的关系如图11所示，相应的电机负载特性如图12所示，图11表明：电机最大预压力与摩擦材料的厚度成反比，因此在实际应用中，在保证摩擦材料粘接强度等性能的前提下，其厚度应尽量的薄。图12表明，随着转子表面摩擦材料厚度的减小，电机的输出力矩不断增大。以上两点说明：复合型用摩擦材料选择，既要考虑其特性参数对电机性能的影响，还要考虑摩擦材料的加工工艺。

4.5 预压力的影响 定转子未过压时，不同预压力（或接触角下）的机械特性如图13所示，电机的空转转速与预压力成反比，与堵转力矩成正比，从功率来看，电机的最大输出功率并非出现在具有最大输出力矩或最大转速的特性曲线上，即有一个合适的预压力，大约保证接触角在250º左右，因此在选择电机工作曲线时，需要根据要求综合考虑。图13给出了未过压和过压情况下电机的负载特性曲线，图中表明当电机过压时，堵转力矩不能增加，保持与临界点的最大力矩相同，但空载转速急剧下降，负载特性曲线软特性加剧。

最后，电机的机械特性的计算结果与实测值如图15所示，实验时的驱动电压比前面仿真值高，故电机的堵转力矩和空转转速都有所提高，仿真结果与实验结果相吻合，表明上述的力传递模型的妥当性和准确性。研制样机的预压力约为2300N（实验值）。

5 结论 （1）电机稳态运行时，提高定转子表面预压力可增大定转子的接触角，同时提高电机的最大输出力矩，当接触角为2p时（临界点），即这时不是断续接触，而是连续接触，其堵转力矩最大，其后若再增大预压力，堵转力矩不变，但空载转速急剧下降，而电机的输出功率一般接触角250º左右时所对应的预压力时最大；另一方面，要提高电机转速预压力以小为宜。 （2）提高扭振子输入电压有助于提高电机定子表面扭振幅，这样，可以提高电机的输出力矩和转速；提高纵振动幅值可以提高扭振动的转换效率，提高输出力矩，但对转子的空载转速影响不大。 （3）摩擦材料特性参数与定转子表面接触角、电机输出力矩都有关系，为保证电机输出较大力矩，摩擦材料应具有较高的弹性模量，考虑制造工艺性和一般摩擦材料的弹性模量，其厚度也有一个最佳值，在其他条件许可的情况下，以薄为宜。

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